在數(shù)學(xué)建模中常用的方法：類比法、二分法、量綱分析法、差分法、變分法、圖論法、層次分析法、數(shù)據(jù)擬合法、回歸分析法、數(shù)學(xué)規(guī)劃（線性規(guī)劃，非線性規(guī)劃，整數(shù)規(guī)劃，動態(tài)規(guī)劃，目標規(guī)劃）、機理分析、排隊方法、對策方法、決策方法、模糊評判方法、時間序列方法、灰色理論方法、現(xiàn)代優(yōu)化算法（禁忌搜索算法，模擬退火算法，遺傳算法，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)）。

用這些方法可以解下列一些模型：優(yōu)化模型、微分方程模型、統(tǒng)計模型、概率模型、圖論模型、決策模型。

擬合與插值方法（給出一批數(shù)據(jù)點，確定滿足特定要求的曲線或者曲面，從而反映對象整體的變化趨勢）： matlab可以實現(xiàn)一元函數(shù)，包括多項式和非線性函數(shù)的擬合以及多元函數(shù)的擬合，即回歸分析，從而確定函數(shù)； 同時也可以用matlab實現(xiàn)分段線性、多項式、樣條以及多維插值。

在優(yōu)化方法中，決策變量、目標函數(shù)（盡量簡單、光滑）、約束條件、求解方法是四個關(guān)鍵因素。其中包括無約束規(guī)則（用fminserch、fminbnd實現(xiàn)）線性規(guī)則（用linprog實現(xiàn)）非線性規(guī)則、（ 用fmincon實現(xiàn)）多目標規(guī)劃（有目標加權(quán)、效用函數(shù)）動態(tài)規(guī)劃（倒向和正向）整數(shù)規(guī)劃。

回歸分析：對具有相關(guān)關(guān)系的現(xiàn)象，根據(jù)其關(guān)系形態(tài)，選擇一個合適的數(shù)學(xué)模型，用來近似地表示變量間的平均變化關(guān)系的一種統(tǒng)計方法 （一元線性回歸、多元線性回歸、非線性回歸），回歸分析在一組數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上研究這樣幾個問題：建立因變量與自變量之間的回歸模型（經(jīng)驗公式）；對回歸模型的可信度進行檢驗；判斷每個自變量對因變量的影響是否顯著；判斷回歸模型是否適合這組數(shù)據(jù)；利用回歸模型對進行預(yù)報或控制。相對應(yīng)的有 線性回歸、多元二項式回歸、非線性回歸。

逐步回歸分析：從一個自變量開始，視自變量作用的顯著程度，從大到地依次逐個引入回歸方程：當引入的自變量由于后面變量的引入而變得不顯著時，要將其剔除掉；引入一個自變量或從回歸方程中剔除一個自變量，為逐步回歸的一步；對于每一步都要進行值檢驗，以確保每次引入新的顯著性變量前回歸方程中只包含對作用顯著的變量；這個過程反復(fù)進行，直至既無不顯著的變量從回歸方程中剔除，又無顯著變量可引入回歸方程時為止。（主要用SAS來實現(xiàn)，也可以用matlab軟件來實現(xiàn)）。

聚類分析：所研究的樣本或者變量之間存在程度不同的相似性，要求設(shè)法找出一些能夠度量它們之間相似程度的統(tǒng)計量作為分類的依據(jù)，再利用這些量將樣本或者變量進行分類。

系統(tǒng)聚類分析—將n個樣本或者n個指標看成n類，一類包括一個樣本或者指標，然后將性質(zhì)最接近的兩類合并成為一個新類，依此類推。最終可以按照需要來決定分多少類，每類有多少樣本（指標）。

系統(tǒng)聚類方法步驟：

計算n個樣本兩兩之間的距離

構(gòu)成n個類，每類只包含一個樣品

合并距離最近的兩類為一個新類

計算新類與當前各類的距離（新類與當前類的距離等于當前類與組合類中包含的類的距離最小值），若類的個數(shù)等于1，轉(zhuǎn)5，否則轉(zhuǎn)3

畫聚類圖

決定類的個數(shù)和類。

判別分析：在已知研究對象分成若干類型，并已取得各種類型的一批已知樣品的觀測數(shù)據(jù)，在此基礎(chǔ)上根據(jù)某些準則建立判別式，然后對未知類型的樣品進行判別分類。

距離判別法—首先根據(jù)已知分類的數(shù)據(jù)，分別計算各類的重心，計算新個體到每類的距離，確定最短的距離（歐氏距離、馬氏距離）

Fisher判別法—利用已知類別個體的指標構(gòu)造判別式（同類差別較小、不同類差別較大），按照判別式的值判斷新個體的類別

Bayes判別法—計算新給樣品屬于各總體的條件概率，比較概率的大小，然后將新樣品判歸為來自概率最大的總體

模糊數(shù)學(xué)：研究和處理模糊性現(xiàn)象的數(shù)學(xué) （概念與其對立面之間沒有一條明確的分界線）與模糊數(shù)學(xué)相關(guān)的問題：模糊分類問題—已知若干個相互之間不分明的模糊概念，需要判斷某個確定事物用哪一個模糊概念來反映更合理準確；模糊相似選擇 —按某種性質(zhì)對一組事物或?qū)ο笈判蚴且活惓Ｒ姷膯栴}，但是用來比較的性質(zhì)具有邊界不分明的模糊性；模糊聚類分析—根據(jù)研究對象本身的屬性構(gòu)造模糊矩陣，在此基礎(chǔ)上根據(jù)一定的隸屬度來確定其分類關(guān)系 ；模糊層次分析法—兩兩比較指標的確定；模糊綜合評判—綜合評判就是對受到多個因素制約的事物或?qū)ο笞鞒鲆粋€總的評價，如產(chǎn)品質(zhì)量評定、科技成果鑒定、某種作物種植適應(yīng)性的評價等，都屬于綜合評判問題。由于從多方面對事物進行評價難免帶有模糊性和主觀性，采用模糊數(shù)學(xué)的方法進行綜合評判將使結(jié)果盡量客觀從而取得更好的實際效果 。

時間序列是按時間順序排列的、隨時間變化且相互關(guān)聯(lián)的數(shù)據(jù)序列—通過對預(yù)測目標自身時間序列的處理，來研究其變化趨勢（長期趨勢變動、季節(jié)變動、循環(huán)變動、不規(guī)則變動）

自回歸模型：一般自回歸模型AR(n)—系統(tǒng)在時刻t的響應(yīng)X(t)僅與其以前時刻的響應(yīng)X(t-1),…， X(t-n)有關(guān)，而與其以前時刻進入系統(tǒng)的擾動無關(guān) ；移動平均模型MA(m)—系統(tǒng)在時刻t的響應(yīng)X(t) ，與其以前任何時刻的響應(yīng)無關(guān)，而與其以前時刻進入系統(tǒng)的擾動a(t-1),…,a(t-m)存在著一定的相關(guān)關(guān)系 ；自回歸移動平均模型 ARMA(n,m)—系統(tǒng)在時刻t的響應(yīng)X(t)，不僅與其前n個時刻的自身值有關(guān)，而且還與其前m個時刻進入系統(tǒng)的擾動存在一定的依存關(guān)系 。

時間序列建模的基本步驟

數(shù)據(jù)的預(yù)處理：數(shù)據(jù)的剔取及提取趨勢項

取n=1，擬合ARMA(2n,2n-1)（即ARMA(2,1)）模型

n=n+1，擬合ARMA(2n,2n-1)模型

用F準則檢驗?zāi)Ｐ偷倪m用性。若檢驗顯著，則轉(zhuǎn)入第2步。若檢驗不顯著，轉(zhuǎn)入第5步。

檢查遠端時刻的系數(shù)值的值是否很小，其置信區(qū)間是否包含零。若不是，則適用的模型就是ARMA(2n,2n-1) 。若很小，且其置信區(qū)間包含零，則擬合ARMA(2n-1,2n-2) 。

利用F準則檢驗?zāi)Ｐ虯RMA(2n,2n-1)和ARMA(2n-1,2n-2) ，若F值不顯著，轉(zhuǎn)入第7步；若F值顯著，轉(zhuǎn)入第8步。

舍棄小的MA參數(shù)，擬合m<2n-2的模型ARMA(2n-1,m) ，并用F準則進行檢驗。重復(fù)這一過程，直到得出具有最小參數(shù)的適用模型為止

舍棄小的MA參數(shù)，擬合m<2n-1的模型ARMA(2n,m) ，并用F準則進行檢驗。重復(fù)這一過程，直到得出具有最小參數(shù)的適用模型為止。

圖論方法：

最短路問題：兩個指定頂點之間的最短路徑—給出了一個連接若干個城鎮(zhèn)的鐵路網(wǎng)絡(luò)，在這個網(wǎng)絡(luò)的兩個指定城鎮(zhèn)間，找一條最短鐵路線 （Dijkstra算法 ）每對頂點之間的最短路徑 （Dijkstra算法、Floyd算法 ）。

最小生成樹問題：連線問題—欲修筑連接多個城市的鐵路設(shè)計一個線路圖，使總造價最低（prim算法、Kruskal算法 ）。

圖的匹配問題：人員分派問題：n個工作人員去做件n份工作，每人適合做其中一件或幾件，問能否每人都有一份適合的工作？如果不能，最多幾人可以有適合的工作？(匈牙利算法)。

遍歷性問題：中國郵遞員問題—郵遞員發(fā)送郵件時，要從郵局出發(fā)，經(jīng)過他投遞范圍內(nèi)的每條街道至少一次，然后返回郵局，但郵遞員希望選擇一條行程最短的路線

最大流問題。

運輸問題：

最小費用最大流問題：在運輸問題中，人們總是希望在完成運輸任務(wù)的同時，尋求一個使總的運輸費用最小的運輸方案

在數(shù)學(xué)建模中常用的算法：

1：蒙特卡羅算法；

2：數(shù)據(jù)擬合、參數(shù)估計、插值等數(shù)據(jù)處理算法（常用matlab實現(xiàn)）；

3：線性規(guī)劃、整數(shù)規(guī)劃、多元規(guī)劃、二次規(guī)劃(用lingo、lingdo、matlab即可實現(xiàn))；

4：圖論算法（包括最短路、網(wǎng)絡(luò)流、二分圖）；

5：動態(tài)規(guī)劃、回溯搜索、分治算法、分支界定；

6：最優(yōu)化理論的三大經(jīng)典算法（模擬退火算法、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法、遺傳算法）；

7：網(wǎng)格算法和窮舉法；

8：連續(xù)數(shù)據(jù)離散化；

9：數(shù)值分析算法；

10：圖象處理算法（常用matlab來實現(xiàn)）。

備注：圖片來自網(wǎng)絡(luò)

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