幾何學是一門研究形的科學，以人的視覺思維為主導(dǎo)，培養(yǎng)人的觀察能力、空間想象能力和洞察力。它本是數(shù)學領(lǐng)域的一個分支，與設(shè)計看似沒有什么交集。本文將會從理性的角度，剖析設(shè)計背后的幾何原理，用平實的語言表達晦澀難懂的數(shù)學，用數(shù)學闡釋設(shè)計。

蜂窩猜想

蜜蜂被譽為動物界最勤勞的物種，殊不知，它們也是這世上最懂得“偷懶”的動物。四世紀古希臘數(shù)學家佩波斯提出，人們所見到的、截面呈六邊形的蜂窩，是蜜蜂采用最少量的蜂蠟建造成的。當時的數(shù)學發(fā)展還很落后，這一猜想1600年以來，無人能證明。

直到20世紀末，美國數(shù)學家哈勒斯在考慮了每一個蜂窩周邊是曲線時，無論是曲線向外突，還是向內(nèi)凹，都證明了由許多正六邊形組成的圖形周長最小。周長最小，意味著筑巢時采用的蜂蠟也最少。這個證明被他放在了互聯(lián)網(wǎng)上，證明過程有19頁之長，直到2001年，他對證明又進行了補充使之完善。

此后，蜂窩猜想變成了蜂窩定理：以同等面積的圖形對一個平面進行分隔，周長為最小的幾何形狀是蜂窩狀的正六邊形。而蜜蜂筑巢的這一行為，也被譽為“最有效勞動的代表”。

藝術(shù)細菌——粘液菌

我們都知道，兩點之間，線段最短，但如果很多點呢？怎樣連接才是最有效率的做法？這就引出了我們第二位主角——粘液菌。這里稱它為細菌不是很嚴謹，它是一種有機生命體，一些特征與真菌類似，其他特征與原生生物類似。它們沒有大腦，在腐爛的木頭、濕地上蔓延，攝取細菌和腐爛的蔬菜。（敲黑板?。]有大腦意味著什么，意味著它們不能思考，所有行為僅受本能支配，科研者卻對這種無腦生物產(chǎn)生了濃厚的興趣。

研究者拿粘液菌做了一個實驗。實驗中，他們將粘液菌最喜歡的食物——燕麥片放置于瓊脂板上，并標明東京周圍各個城市節(jié)點，在東京這個節(jié)點上注入粘液菌。然后觀察它們的擴散方式。

可以看到，實驗開始后，群菌開始向四周蔓延開來，8小時后，形成了許許多多的脈絡(luò)，這是它們輸送營養(yǎng)的管道。隨著實驗的進行，大部分的脈絡(luò)開始退化消失，只留下幾條清晰的管道。最后，它們連接了所有節(jié)點，只留下最清晰有效的線路。

實驗結(jié)果人們發(fā)現(xiàn)，這些脈絡(luò)和東京現(xiàn)今的城市交通規(guī)劃有很多相似之處，有些甚至要更合理。

這些菌群沒有大腦，但它們?yōu)榱松?，只能尋找路途最短的管道為母體輸送營養(yǎng)。正是這種求生的本能，給我們的交通規(guī)劃者們帶來了巨大靈感。在設(shè)計城市公路時，優(yōu)先需要考慮的是主干道的效率，這個道路越短意味著效率也最高。在這一方面，人類和細菌達成了共識，我們都在尋找效率最高的設(shè)計方案。如果我們在設(shè)計之初，考慮了讓粘液菌也參與進來，會不會比現(xiàn)在的設(shè)計規(guī)劃更便捷、更有效率。

黑膠唱片

說起黑膠，很多人并不感到陌生。熱衷于模擬錄音的音樂發(fā)燒友，收藏黑膠是他們表達對音樂熱愛的一種“奢侈”的方式。黑膠相比于現(xiàn)代的CD，有著不可替代的優(yōu)勢——漂亮的唱盤、高貴的唱片機以及所傳達出的獨特的情感。

想要了解黑膠藝術(shù)，僅靠聽是不夠的，它背后的發(fā)聲原理同樣值得我們?nèi)ヒ惶骄烤埂?/p>

唱片表面有著一圈圈細致的拉絲工藝，這可不僅僅是為了美觀。放大看，其實是呈螺旋線狀的聲槽，音頻信號就記錄在這里。聲槽由外到內(nèi)有四個部分組成，順序為：導(dǎo)入槽、聲槽、過度槽、導(dǎo)出槽和終止槽。唱針由導(dǎo)入槽引入聲槽，樂段之間有若干秒的無聲的過度槽，過度槽螺距也較寬，用肉眼可以分辯。聲槽的末端與導(dǎo)出槽相接，樂曲結(jié)束后唱針由導(dǎo)出槽引至終止槽。最后終止槽是一個閉環(huán)設(shè)計，它可以讓唱針停留原地。

這一過程過程中，聲音依靠唱針讀?。茨ゲ粒┏P的溝痕兩側(cè)，通過磨擦所產(chǎn)生的震動借由針桿傳回唱頭，繼而產(chǎn)生磁電轉(zhuǎn)換輸出電流；再將這些電流轉(zhuǎn)換成電壓形式，輸入到前級，再經(jīng)過等化線路還原，繼續(xù)進入信號放大部分，最后經(jīng)由喇叭播放出音樂。

這里我們可以思考一個簡單的問題，為什么傳統(tǒng)意義上的黑膠唱片通常采用圓盤的設(shè)計？

• 相同運動軌跡直徑內(nèi)，圓的面積最大，存儲信息量最大
• 圓在靜止和工作時面積相同，不占空間
• 同心圓設(shè)計，便于旋轉(zhuǎn)和拿取

永不松動的螺母

中國的高鐵取得了令世界刮目相看的成績，然而，小小的螺母卻不得不采用進口的。因為高鐵運營時，高速行駛的列車和鐵軌不斷接觸，形成的震動非常大，一般的螺絲在這種震動中會被震松震飛，導(dǎo)致嚴重的交通事故。不想被震飛，就需要螺絲和螺母嚴絲合縫、永不松動才行。

這個要求看起來很簡單，但是要滿足它并不容易。大家想，世界上做螺絲螺母的企業(yè)可以說是多如牛毛，但是能生產(chǎn)這種永不松動螺母的企業(yè)有幾家呢？只有一家，來自日本的哈德洛克工業(yè)株式會社。

讓我們挖掘一下它的設(shè)計思路。原理很簡單，在螺絲和螺母之間，打入一個梯形的楔子，可以起到牢固的效果。如果將螺母一分為二，再把其中一個螺母當作楔子使用，就可以起到加固作用。

順著思路，繼續(xù)往下。左邊是一分為二的螺母，上方我們叫凹螺母，采用了一個同心圓的設(shè)計，對應(yīng)左圖藍色的部分。而下方我們叫它凸螺母，它采用了偏心圓的設(shè)計，對應(yīng)左圖紅色的部分?？梢钥吹剑t色圓環(huán)的內(nèi)外圓心并不在一條直線上。當我們把兩個螺母擰到一起，也就是兩個圓環(huán)重疊時，勢必會產(chǎn)生錯位。而螺母想要擰緊，就必須克服這種錯位帶來的巨大阻力。這種阻力，就是它永不松動的原因。

可能這樣說還不夠直觀，我們把它們的關(guān)系想象成紅酒瓶和軟木塞，尺寸匹配的軟木塞可以剛好打進瓶口里，并且輕松地拔出來。如果換成更大尺寸的軟木塞（相當于錯位的螺母），就需要用更大的力氣才能打進去，一旦打進去，再想拔出來也同樣需要很大的力量。這種阻力帶來的自緊力讓它們彼此間很難松動，這就是幾何的力量。

有的人可能會有疑惑，人家把這種螺母的原理和結(jié)構(gòu)都明白地告訴你了，為什么還說能夠生產(chǎn)這種螺母的只此一家。因為實際的生產(chǎn)還需要特殊的經(jīng)驗和技術(shù)。沒有千萬次試錯的精神，就是琢磨透了原理，也無法仿制出同樣的螺母。日本的很多企業(yè)都有這種怎樣學也學不會的獨一無二的技術(shù)。

斐波那契與兔子數(shù)列

討論幾何學設(shè)計，一定會提到的人就是斐波那契。這位意大利數(shù)學家提出過這樣一道有趣的數(shù)學題：

問：兔子在出生兩個月后，就具備繁殖能力，一對兔子每個月能生出一對小兔子。如果所有兔子都不死，那么一年以后可以繁殖多少對兔子？

起初，我們擁有一對兔子。

過了一個月，這對兔子還不具備繁殖能力，所以還是一對。

又過了一個月，這對兔子生了一對小兔子，現(xiàn)在有兩對。

再過去一個月，老兔子繼續(xù)生小兔子，而小兔子還不具備繁殖能力，所以有3對。

……以此類推。

一年后，我們一共有了233對兔子

我們發(fā)現(xiàn)，這個數(shù)列有一個共同的規(guī)律，兩項之和可以得到后一項，這對任何一項都是成立的。最后，在數(shù)列最前面補一個0。

我們就得到了這樣的一個數(shù)列，這個數(shù)列被稱作斐波那契數(shù)列也叫黃金數(shù)列。大家可能都想到了黃金分割比、黃金螺旋線。那他們是如何產(chǎn)生聯(lián)系的？讓我們繼續(xù)往下看。

取數(shù)列的末兩位，求144和233的比值，我們得到的結(jié)果是0.618025751……

隨著斐波那契數(shù)列項數(shù)的增加，前一項與后一項之比將越來越逼近黃金分割比（φ），這也是為什么這個數(shù)列被稱為黃金數(shù)列的原因。

在數(shù)學中，黃金分割比（φ）≈0.618033988749894848204586834…

它是一個小數(shù)點后無限不循環(huán)的無理數(shù)

如果我們把這一個個數(shù)，用正方形代替，會得到這樣一個幾何圖形。當我們以正方形的邊長為半徑畫圓，便會得出這條著名的黃金螺旋線。

這條線不是玄學，大家可能都知道，自然界很多生物上都能找到這根螺旋線，比如鸚鵡螺、向日葵等等，但未必很了解它們?yōu)槭裁磿L成這樣。

斐波那契與向日葵

植物懂得斐波那契嗎？應(yīng)該并非如此，它們只是按照自然的規(guī)律才進化成這樣。人們發(fā)現(xiàn)向日葵會按照斐波那契弧線去排列種子。這似乎是植物排列種子的“最優(yōu)化方式”。它能使所有種子具有差不多的大小卻又疏密得當，不至于在圓心處擠了太多的種子而在圓周處卻又稀稀拉拉。但這個猜測，數(shù)學不能證明。

當然，數(shù)學無法解開的問題，交給計算機去做就好啦。

這是計算機模擬向日葵的仿真實驗，實驗中，我們把發(fā)散角設(shè)置為圓的黃金分割比（φ），使它的排列方式呈現(xiàn)斐波那契螺旋線。而這里的每一個點代表了向日葵等大的果實（瓜子）。

大家可以看到，這里的每一個點代表了向日葵等大的果實，我們從這種排列方式中，很容易找出一條條的螺旋線。有心的同學可以數(shù)一下，紅色順時針的螺旋線，一共出現(xiàn)了21條，逆時針的螺旋線，一共出現(xiàn)了34條。完美契合了斐波那契數(shù)列的第九位和第十位。

當我們把發(fā)散角放大或是縮小一點點，圓點間都會出現(xiàn)間隙，從而導(dǎo)致不能最大程度利用空間。這個實驗向我們證明了，以斐波那契弧線排列的向日葵種子，是它們最有效利用空間的方式。

自然界懂得運用螺旋線的植物還有很多，向日葵只是其中之一，這里不再一一列舉。

黃金分割騙局

黃金分割比（φ）的價值在許多地方得到了證實，他像神話一樣屹立在美學神壇上。但它真的適用于所有的場合嗎，我們說也不完全是的。

早在03年，索尼就已經(jīng)推出了16:9的顯像管電視，當時售價達到一萬元。隨后市場上涌現(xiàn)出一批16:9，16:10的顯示屏，與此同時，商家打著更符合黃金比例、更符合人體工程學設(shè)計的廣告，大肆宣傳寬屏的好處，逐漸淘汰了4:3的屏幕。

問題來了，既然16:10比16:9更接近黃金分割比（φ），為什么沒有成為主流？

想要解釋這個問題，需要我們先解一道數(shù)學題。

這里有兩塊同樣15英寸的屏幕，一塊16:9，一塊16:10，這兩塊屏幕等大嗎？

是否等大我說了不算，得數(shù)據(jù)說了算。

我們可以通過測量或是勾股定理，得出他們的長寬。左邊的屏幕長13英寸，寬7.3英寸。而右邊的屏幕長12.7英寸，寬7.9英寸。知道了長寬，就可以求他們的面積。左邊藍色的屏幕我們得到的面積是96平方英寸，右邊紅色的屏幕我們得到的面積是101平方英寸。

大家可以看到，同樣“尺寸”的電視，16:9比16:10足足少了5%的有效面積，對于液晶電視剛起步時，這5%的成本節(jié)省讓商家嘗到了甜頭。越來越多的商家愿意推出16:9的電視，市場也接納了這種“性價比”更高的比例。隨著越來越多的電影、節(jié)目源采用16:9的比例，直到最后國際組織統(tǒng)一了節(jié)目源，讓16:10的屏幕慢慢被推向了市場的邊緣。但仍然存在一些良心商家在堅持這個完美比例，比方說蘋果推出的macbook，它的屏幕是標準的16:10。

到這里，大家可以理解了，幾何和我們身邊的設(shè)計息息相關(guān)，幾何的應(yīng)用不僅在于自然界和工業(yè)社會，在我們平面領(lǐng)域，也有很多經(jīng)典的用例。

那些LOGO中你不知道的小秘密

百事可樂的標識經(jīng)常被拿來當作幾何學設(shè)計的經(jīng)典案例，與之類似的還有被神話的蘋果logo，豐田的車標，它們都“嚴格”遵循了尺規(guī)或幾何的邏輯去設(shè)計，但事實是否真的如此。

LOGO中的每一筆線條看似都有了合理的解釋，但我們?nèi)匀话l(fā)現(xiàn)有這樣紅色的一筆在它的VI體系中沒有做出過任何說明。

這是一條曲率奇特的曲線，有可能經(jīng)過復(fù)雜的測量，也可能只是設(shè)計師“任性”的一筆。它到底為什么會長成這樣我們無從知曉，但這一筆，造就了這個LOGO與眾不同。

這是保羅·蘭德為喬布斯設(shè)計的NeXT。當時喬布斯告訴他，其下一臺電腦將會是一個完美至極的“四方體”。因此，保羅依他的要求打造了這樣一個完美的“四方體”。

乍一看好像沒毛病，的確是一個四四方方的立方體。然而通常情況下，一個完美的正方體在這種傾斜的視角下，正方形表面受到拉伸，直角勢必會變成鈍角和銳角。

然而保羅設(shè)計的NeXT立方體，上方的面竟然是成90°的正方形。事實上保羅設(shè)計的立方體并不是一個完美的“正立方體”。當然，這并沒有影響喬布斯為保羅的設(shè)計買單。

與之類似的還有Google圖標G中隱藏的小秘密。我們以為眼睛已經(jīng)看透了，其實仍然存在我們不知道的小細節(jié)。可以看到，圖中藍色部分和紅色部分的收尾處，都違背了原本的幾何走勢。這可能是為了平衡G字右側(cè)的拐點易造成視覺“偏斜”的缺陷，也可能是其他的原因打破了平衡。但恰恰是這靈動的一筆，鑄造了優(yōu)秀的設(shè)計。

設(shè)計需要理性，但終歸是感性的。

設(shè)計不是數(shù)學，不是所有的作品都可以用尺規(guī)去創(chuàng)作。正是這些無法解釋的點睛之筆，讓設(shè)計這件事充滿了神秘的色彩和魅力，給作品賦予了獨一無二的價值。但即使如此，我們還是樂意用一些幾何圖形去輔助創(chuàng)作，這也是人的一種本能。

人生來尋找意義，設(shè)計也是如此

我們會給自己的作品加上圓圈和虛線、用一些簡單的數(shù)學概念去解釋我們的設(shè)計，即使我們對數(shù)學還不夠了解。

對于身邊很多約定俗成的幾何體，我們可能從沒有在意過。類似蜂窩、雪花晶體、六邊形螺母這些在意識中習以為常的物體，我們不會去探究它為什么會是這樣。但當我們?nèi)ネ诰驇缀伪澈蟮囊饬x，會發(fā)現(xiàn)設(shè)計不僅僅是我們看的外表。在優(yōu)秀的設(shè)計背后，還有很多我們不曾注意的原理和邏輯。

以上這些是我以一個理科生的視角，看到的設(shè)計的原貌，以及一些自以為是的理解，分享給大家，謝謝大家。

作者： 周星棋，網(wǎng)易UEDC視覺設(shè)計師

本文來源于人人都是產(chǎn)品經(jīng)理合作媒體@網(wǎng)易UEDC，作者@周星棋

題圖來自unsplash，基于 CC0 協(xié)議